Topologia Algebraiczna

Miejsce i czas

Prowadzacy i uczestnicy

O topologii algebraicznej

O seminarium

Opis tematyki w roku akad. 2003/04

Plan referatow

Tematy obronionych prac magisterskich

Literatura i dowiazania

Archiwum

Miejsce i czas

Miejsce: Wydział MIM UW, ul.Banacha 2 (wejscie od ul. Pasteura), sala 3210
Czas: Środy 16:15-18:00 w okresie odbywania sie zajec dydaktycznych

Prowadzacy i uczestnicy

• Prowadzący:
  • Stefan Jackowski e-mail: sjack@mimuw.edu.pl tel. 5544214
    Konsultacje: p. 2140, poniedziałek 16:00-18:00 lub po umowieniu e-poczta lub telefonicznie.
  • Andrzej Weber e-mail: A.Weber@mimuw.edu.pl, tel. 5544580
    Konsultacje:
• Uczestnicy (rok akad. 2003/04):
  • Konrad Bojar (V, mgr) Praca mgr: Orientacje wiazek wektorowych w K-teoriach.
  • Marcin Hauzer (V, mgr dr A. Langer)
  • Wojciech Kryński (V, mgr prof. B.Jakubczyk )
  • Karol Palka (V, mgr prof. Zb. Marciniak)
  Uwaga: W nawiasach podano rok studiow, czy SMTA jest seminarium magisterskim tego studenta (mgr) a jesli tak, nazwiska opiekunow naukowych, o ile nie sa nimi prowadzacy SMTA.

O topologii algebraicznej

Topologia algebraiczna jako wyodrębniony dział matematyki liczy 100 lat. Polega na badaniu wlasnosci topologicznych przy pomocy metod algebraicznych, korzysta rowniez z narzedzi analitycznych. Podstawowe pojęcia topologii algebraicznej - homotopii i homologii zostały wprowadzone przez wielkiego matematyka francuskiego Henri Poincare (1854-1912). Poincare przypuszczał, ze jego idee odegrają fundamentalna role nawet w odleglych od topologii teoriach matematycznych. Ta wizja sprawdzila sie - wyniki i metody topologii algebraicznej wywarly ogromny wplyw na badania matematyczne w XX wieku; Choc kilkakrotnie gloszono zmierzch topologii algebraicznej, nastepne lata przynosily jednak nowe zaskakujace wyniki i nowe zastosowania klasycznych idei. Doskonale ilustruje to lista wybrancych matematykow, ktorzy przyczynili się do rozwoju idei topologii algebraicznej lub ich zasosowań: (w nawiasach kraje, w których działali oraz lata najważniejszych prac z tej dziedziny oraz ew. informacja o medalu Fieldsa):
 

James Waddell Alexander (USA, 13-36), Salomon Lefschetz (USA, 20-33), Heinz Hopf (D-CH, 26-45), Karol Borsuk (PL, 31-37), Lew Pontrjagin (RUS, 31-50), Eduard Cech (CZ, 32-36), Charles Ehresmann (F, 34-54), Jean Leray (F, 35-50), Witold Hurewicz (PL-NL, 35-55), Hassler Whitney (USA, 35-57), Norman Earl Steenrod (USA, 36-62), Hans Freudenthal (NL, 37-39), Samuel Eilenberg (PL-USA, 39-66), George De Rham (CH, 39-50), John Henry Constanine Whitehead (GB, 39-51), Henri Cartan (F, 45-56), Shiing-shen Chern (Chiny-USA, 46-57), Rene Thom (F, 49-54, m. Fieldsa 1958), Jean-Pierre Serre (F, 51-53, m. Fieldsa 1954),

Friedrich Hirzebruch (D, 53-56), Raoul Bott (USA, 54-70), John Milnor (USA, 56-70, m. Fieldsa 1962), Alexander Grothendieck (F, 57, m. Fieldsa 1966), John Frank Adams (GB, 58-89), Michael F. Atiyah (GB, 59-70, m. Fieldsa 1966), Daniel Quillen (USA, m. Fieldsa 1978), Dennis Sullivan (USA), Stephen Smale (USA, m. Fieldsa 1966), William Browder (USA), Sergei Petrovich Novikov (RUS, m. Fieldsa 1970), Greame Segal (GB, 64-80), Michael Freedman (USA, m. Fieldsa 1986), Simon Donaldson (UK, m. Fieldsa 1986), Vaughan Jones (USA, m. Fieldsa 1990), Vladimir Drinfeld (RUS-USA, m. Fieldsa 1990), Maxim Kontsevich (RUS-F, m. Fieldsa 1998), Vladimir Voyevodsky (RUS-USA, m. Fieldsa 2002).

Zainteresowanym historia topologii algebraicznej polecamy wyjatkowe dzielo J. Dieudonne A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960 Birhhaeuser 1989 oraz ciekawy zbior artykułow Algebraic Topology - A Student's Guide wydany przez J. F. Adamsa (Cambridge Univ. Press 1972) optarzony przedmowa autora o tym jak jego zdaniem powinno sie uczyc topologii algebraicznej.

O naszym seminarium

Seminarium adresowane jest przede wszystkim do studentow zainteresowanych badaniami matematycznymi lub nauczaniem matematyki na zaawansowanym poziomie. Charakter i tradycja tej dziedziny matematyki powoduja, ze ciekawe tematy moga na nim znalezc studenci interesujacy sie bardzo szerokim spektrum matematyki czystej - od abstrakcyjnej algebry, teorii kategorii przez topologie geometryczna i teorie wezlow po geometrie rozniczkowa, analityczna i różniczkową i analize globalna. Na seminarium mozna przygotowywac prace magisterskie pod opieka specjalistow z roznych dziedzin. Zapraszamy takze studentow, ktorzy chcieliby wybrac nasze seminarium jako monograficzne. Studenci zainteresowani topologia algebraiczna beda mieli mozliwosci uczestniczenia w programach miedzynarodowej wspolpracy naukowej.
Zalozenia w r.2003/04: Znajomosc algebry, analizy i topologii w zakresie przedmiotow obowiazkowych na I i II roku studiow matematycznych.

Rekomendacje: Zainteresowanym topologia algebraiczna rekomendujemy w roku 2003/04 nastepujace przedmioty:

Wykłady fakultatywne, na które koniecznie trzeba się zarejestrować, jeżeli nie są zaliczone.
• Topologia algebraiczna I i II
• Topologia II
• Geometria różniczkowa I
  

  Inne rekomendowane wykłady fakultatywne:

• Geometria algebraiczna I
• Geometria różniczkowa II

  Rekomendowane wykłady monograficzne:

---

Opis tematyki w roku akad. 2003/04

Tematem seminarium w roku 2003/04 będą związki topologii i geometrii rozmaitości ze strukturami analitycznymi, które mogą być wprowadzone na tych rozmaitościach. Szczególnym przedmiotem naszych zainteresowań będą rozmaitości zespolone (analityczne). Struktury analityczne istnieją np. na wszystkich orientowalnych powierzchniach 2-wymiarowych (ale nie na nieorientowalnych) oraz na rozmaitościach algebraicznych (głądkich) określonych nad ciałem liczb zespolonych. Punktem docelowym seminarium będzie klasyczna teoria Hodge'a opisująca ciekawe symetrie i rozkłady kohomologii rozmaitości rzutowych (a nawet tzw. rozmaitości Kaehlera).

Są to zagadnienia leżące w centrum współczesnej matematyki, łączące jej podstawowe dyscypliny: algebrę, analizę i geometrię. Medale Fieldsa za osiągnięcia związane z teorią rozmaitości zespolonych i algebraicznych otrzymali m.in: Lars Ahlfors (1936), Kunihiko Kodaira (1954), Alexander Grothendieck (1966), Heisuke Hironaka (1970), David Bryant Mumford (1974), Pierre Deligne (1978), Shing-Tung Yau (1982), Shigefumi Mori (1990), Maxim Kontschevich (1998), Vladimir Voyevodsky (2002). Seminarium adresowane jest do studentów o szerokich zainteresowaniach matematycznych, pragnących specjalizować się w analizie globalnej, geometrii algebraicznej, topologii algebraicznej itp.

Punktem wyjścia seminarium będzie podstawowa wiedza o rozmaitościach i formach różniczkowych wyniesiona z przedmiotów Analiza Matematyczna II, Geometria Różniczkowa I oraz znajomość topologii w zakresie przedmiotu Topologia I.

Po przypomnieniu podstawowych pojęć, zostaną omówione tzw. kohomologie de Rhama rozmaitości, w terminach których wyraża się wiele głębokich związków struktur analitycznych i topologii rozmaitości. Zapoznamy się również z bardzo ważnym w analizie, geometrii algebraicznej i topologii pojęciem snopa oraz snopowym podejściem do kohomologii. W dalszym ciągu zajmiemy się bardziej zaawansowanymi zagadnieniami, których ostateczny dobór będzie uwzględniał oczekiwania uczestników. Proponujemy zapozanie się z następującymi zagadnieniami: rozmaitości Kaehlera i ich algebra form różniczkowych; rozkład Hodge'a i rozkład Lefschetza kohomologii; twierdzenie Lefschetza o przekrojach; twierdzenie Kodairy o włożeniu w przestrzeń rzutową; cykle algebraiczne i hipotezy Hodge'a.

---




Proponowany plan referatow

• 1. Rozmaitości gładkie [Wells I.1,2]: definicja, przykłady (torusy, powierzchnie, przestrzenie rzutowe, grasmaniany), przestrzeń styczna, pola wektorowe, formy różniczkowe i ich przeciąganie przez odwzorowania gładkie.
• Kohomologie de Rhama} [Bott-Tu I.1,2,4]: kompleks de Rhama, ciąg Mayera-Vietorisa, lemat Poincare.
• 3. Orientacja i całkowanie} [Bott-Tu I.3], [Warner \S4]: całkowanie po łańcuchach i podrozmaitościach, twierdzenie Stokesa.
• Teoria harmoniczna} [Warner, 6 (do 6.14)]: gwiazdka Hodge'a, operator Laplace'a, formy harmoniczne, rozkład Hodge'a, dwoistość Poincare.
• Teoria kohomologii snopów} [Warner, 5 (do 5.25)], [Wells, II]: snop i jego źdźbła, snopy injektywne, wiotkie, miękkie; przekształcenia snopów, kompleksy, rezolwenty, kohomologie snopów, aksjomatyczna charakteryzacja.
• Twierdzenie de Rhama} [Warner, 5 od 5.31]: kohomologie singularne, snop kołańcuchów jako rezolwenta snopa stałego, snop form różniczkowych jako rezolwenta snopa stałego, jawna postać izomorfizmu kohomologii singularnych i de Rhama.
• Rozmaitości zespolone} [Chern, 1,3], [Warner, I.3]: przykłady, struktura niemal zespolona, warunek całkowalności.
• Teoria harmoniczna na rozmaitościach zespolonych} [Wells,V.1,2], [Griffiths-Harris, I.6]: algebra form na liniowej przestrzeni hermitowskiej, koholologie Dolbeault, dualność Serra.
• Rozmaitości kaehlerowskie} [Griffths-Harris, I.7 str. 106-115]: metryka k\ąhlerowska, przestrzenie rzutowe i metryka Fubini-Study, tożsamości Hodge'a.
• Kohomologiczne własności rozmaitości kaehlerowskich} [Griffths-Harris, I.7 str 116-126], [Wells, V.4]: rozkład Hodge'a, rozkład Lefschetza, trudne twierdzenie Lefschetza.
• Tożsamości Hodge'a-Riemanna dla rozmaitości kaehlerowskich} [Wells, V.5]: określoność form na prymitywnych kohomologiach, odwzorowanie periodów, wariacja struktury Hodge'a.
• Jeśli czas i zainteresowanie słuchaczy pozwolą: twierdzenie Lefschetza o hiperpłaskim cięciu, twierdzenie Kodairy o znikaniu, twierdzenie Kodairy o włożeniu w przestrzeń rzutową [Griffths-Harris], cykle algebraiczne i hipoteza Hodge'a [Bloch], mieszane struktury Hodge'a i kohomologie otwarych rozmaitości, ciągi spektralne, rozmaitości symplicjalne i mieszana stuktura Hodge'a [Griffiths-Schmid], [Deligne].
   

  Uwaga: Odsyłacze do literatury podanej poniżej w rozdziale "Geometria różniczkowa i zespolona"

---

Tematy obronionych prac magisterskich

• Maciej Borodzik (2001, prof. H. Żołądek) O pewnych uogólnieniach twierdzeń Pascala i Chasles'a.
• Renata Gruszka (2001, SJ) Dowód twierdzenia Botta o periodyczności przy pomocy małych kategorii.
• Marcin Mucha (2001, AB) Konstrukcja kwadratów Steenroda przy pomocy operadów.
• Piotr Seńko (2001, AB) Gładkie działania grupy SU(2) na dyskach.
• Marcin Stalij (2001, prof. J. Wisniewski) :Struktura kombinatoryczna stożków krzywych i stożków dywizorów szerokich na gładkich powierzchniach del Pezzo
• Weronika Krych (2002, prof. J. Wiśniewski) Rzutowe rozmaitości toryczne
• Wojciech Hury (2002, SJ) Operacje kohomologiczne w singularnej ekwiwriantnej teorii kohomologii
• Radosław Bojanowski (2003, dr A. Langer)
• Jarosław Buczyński (2003, prof. J.Wiśniewski)
• Paweł Witkowski (2003, SJ) Ekwiwariantny charakter Cherna
• Olga Weber (2003, dr A. Bojanowska) Przestrzeń konfiguracji punktów na okręgu
   

  Uwaga: W nawiasie rok obrony i nazwisko lub inicjały kierującego

---




Literatura i dowiazania

Klasycy
• M. F. Atiyah Mathematics in the 20th century
• M.J.Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002

  Hipoteza Poincare

• The New York Times Science, April 15, 2003
• J. Milnor The Poincare Conjecture 99 Years Later. A Progress Report Report. February 2003

  Geometria różniczkowa i zespolona

• S. Bloch Lectures on algebraic cycles
• R. Bott, L. W. Tu Differential forms in algebraic topology
• S. S Chern Complex manifolds without potential theory
• P. Deligne Th\'eorie de Hodge II, III, Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972) str. 5-57; Publ. Math. I.H.E.S. 44 (1974) 5-77
• P. Griffiths, J. Harris Principles of algebraic geometry
• P. Griffiths, W. Schmid, Recent developments in Hodge theory, a discussion of techniques and results. roceedings of the International Colloquium on Discrete Subgroups of Lie Groups (Tata Institute, Bombay 1973) str. 31-127
• F. W. Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
• R. O. Wells Differential analysis on complex manifolds.

  Obiekty symplicjalne

• W. Chacholski, J.Scherer Homotopy theory of diagrams Memoirs of the American Mathematical Society
• P. Gabriel, M. Zisman Calculus of fractions and homotopy theory Springer 1967 (tlumaczenie rosyjskie Mir 1971)
• G. Segal Classifying spaces and spectral sequences Publ. IHES 34, 1967
• J. P. May Simplicial objects in algebraic topology University of Chicago Press
• M. Hopkins Homotopy limits and colimits Northwestern Thesis
• S.I. Gelfand, J.I.Manin Methods of homological algebra (oryginal rosyjski 1988)
• S. Jackowski Zadania o zbiorach symplicjalnych, małych kategoriach i ich geometrycznych realizacjach.
• P. Selick Introduction to Homotopy Theory American Math. Society 1997
• W. G. Dwyer Classifying spaces and homology decompositions Centre de Recerca Matematica, Barcelona 1998
• L. Vokrinek Homological algebra of functors

  Archiwa preprintów

• Hopf Archive
• K-theory Preprints Archive

---

Archiwum

• Strona SM TA 1999/2000
• Strona SM TA 2002/2003

---

Stefan Jackowski

Aktualizacja: 2003.10.01 

---

[Poczatek] [Miejsce i czas] [Prowadzacy i uczestnicy] [O topologii...] [O seminarium] [Program 2001/02] [Propozycje na rok 2002/03] [Literatura...][Archiwum]


---