Topologia Rozmaitości

Geometryczny Bordyzm i Kobordyzm

Wykład monograficzny z ćwiczeniami na Wydziale MIM UW

· Zadania z ćwiczeń i na egzamin

· Literatura papierowa i ciekawe dowiązania

· Archiwum

Miejsce i czas

Wydział MIM UW, ul. Banacha 2 (wejście od ul. Pasteura),
Wykład: i Ćwiczenia: piątki 10:15 – 13:45, sala 4050

Prowadzący: Agnieszka Bojanowska i Stefan Jackowski

Opis i Program

Tematem wykładu jest zagadnienie klasyfikacji rozmaitości zwartych z dokładnością do relacji bordyzmu. Bardziej subtelna klasyfikacja topologiczna jest znana w wymiarze 1, 2 oraz w wymiarach 3 i 4 dla jednospójnych rozmaitości, ale nie ma szans przeniesienia do dowolnych wymiarów. Klasyfikację rozmaitości (także z dodatkowymi strukturami geometrycznymi) z dokładnością do bordyzmu podał 60 lat temu Rene Thom (F, medal Fieldsa 1958). Korzystając z interpretacji bordyzmu w terminach homotopijnych, bazując na pracach J.P. Serre'a (F, medal Fieldsa 1954) Thom podał obliczenia pewnych pierścieni bordyzmu rozmaitości. Koncepcja pierścienia bordyzmu była jednym z fundamentów pierwszego dowodu twierdzenia Atiyah-Singera o indeksie operatorów eliptycznych na zwartych rozmaitościach. W latach 1960-tych John M. Boardman (GB, USA) zauważył, że obliczony przez Thoma pierścień jest izomorficzny z pierścieniem uniwersalnej grupy formalnej, rozważanym w czystej algebrze, dotąd bez związku z topologią. W roku 1970 Daniel Quillen (USA, medal Fieldsa 1978) podał wspaniały dowód i filozoficzne wyjaśnienie faktu, że pierścień bordyzmu jest izomorficzny z pierścieniem uniwersalnej grupy formalnej. Zagadkowy głęboki związek klasyfikacji rozmaitości z algebrą grup formalnych do dzisiaj jest źródłem inspiracji nowych badań. Osiągnięcia zostały podsumowane w plenarnym referacie Mike'a Hopkinsa (USA) na Międzynarodowym Kongresie Matematyków (ICM) w Pekinie w sierpniu 2002, były także tematem referatów na ICM w 2014 r.

Wykład przeznaczony jest dla studentów zainteresowanych szeroko rozumianymi geometrią i topologią. Pewna kultura geometryczno-topologiczna z pewnością ułatwi zrozumienie wykładu; jednak żadna formalna wiedza wychodząca poza zakres elementarnej topologii i rachunku różniczkowego wielu zmiennych nie będzie zakładana. Wykład teorii bordyzmu prawie nie będzie odwoływał się do wiadomości z topologii algebraicznej i może być traktowany jako pierwszy (niestandardowy i przyspieszony) kurs tego przedmiotu.

Program

1. Klasyfikacja topologiczna rozmaitości w niskich wymiarach.
2. Rozmaitości gładkie - przypomnienie. ABC topologii różniczkowej.
3. Wiązki wektorowe, ich klasyfikacja homotopijna i przestrzenie Thoma.
4. Bordyzm rozmaitości (niezorientowanych). Pierścień bordyzmu.
5. Rozszerzenie pierścienia bordyzmu do uogólnionej teorii homologii ze strukturą multiplikatywną.
6. Homotopijna interpretacja bordyzmu: konstrukcja Pontriagina-Thoma.
7. Izomorfizm Thoma w teorii bordyzmu.
8. Geometryczna definicja teorii kobordyzmu; interpretacja homotopijna.
9. Klasa Thoma wiązki. Dwoistość. Grupa formalna.
10. Uniwersalne własności teorii bordyzmu.
11. Algebraiczna teoria grup formalnych. Twierdzenie Lazard'a o postaci grupy uniwersalnej.
12. Operacje kohomologiczne w teorii bordyzmu.
13. Identyfikacja pierścienia bordyzmu rozmaitości niezorientowanych jako uniwersalnej grupy formalnej nad ciałem dwuelementowym.
14. Liczby charakterystyczne Stiefela-Whitneya jako niezmienniki relacji bordyzmu rozmaitości..
15. Informacja o innych teoriach bordyzmu; w szczególności unitarnego.

Tematy wykładów i notatki

Zadania z ćwiczeń i zadania egzaminacyjne

Literatura i dowiązania

Podstawowe źródła

J.F. Adams Quillen's work on formal groups and complex cobordism.
A. Bojanowska, S. Jackowski Geometric bordism and cobordism
Th. Broecker, T. tom Dieck Kobordismentheorie Lecture Notes in Math. 178, Springer 1970
S. Jackowski Topologia rozmaitości. Bordyzm niezorientowany i grupy formalne. Notatki do wykładu 2003 r.
D.Quillen Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations Advances in Mathematics 7, str.29-56, (1971)
H. Miller Notes on cobordism. Lecture Notes MIT
R. Stong Notes on cobordism theory

Literatura uzupełniająca

G.E. Bredon Topology and Geometry
Th. Broecker, K. Jaenich Introduction to differential topology
M. Hirsch Differential topology
M.J. Hopkins Global methods in homotopy theory. W tomie Homotopy Theory London Math. Soc. Lect. Note Series 117 (1987), 73-96
M.J. Hopkins Algebraic Topology and Modular Forms ICM 2002
J. Milnor Topologia z różniczkowego punktu widzenia
J. Milnor Lectures on h-cobordism
D. Ravenel Quillen's work on formal groups and complex cobordism 2012

Stefan Jackowski

Aktualizacja: 2016-02-19

[Początek] [Miejsce i czas] [Prowadzący] [Program] [Notatki do wykładu] [Zadania na ćwiczenia] [Literatura...]

Geometryczny Bordyzm i Kobordyzm

· Miejsce i czas

· Prowadzący

· Program

· Notatki do wykładu