Zadania zaliczeniowe z Procesów Stochastycznych

1. Niech (W_{t})_{t 0} będzie ruchem Browna startującym z zera, rozpatrzmy następujące trzy procesy

a) e^{−2t} W_{e^{4t}}, t ∈ (−∞, ∞)

b) W_{t+1} − W_{t}, t 0

c) tW_{1/t}, t > 0. Znajdź funkcję wartości średniej i kowariancji dla tych procesów. Które z tych procesów są stacjonarne, a które mają przyrosty niezależne?

2. Ustalmy T > 0 i liczby rzeczywiste a, b. Proces gaussowski (X_{t})_{t∈[0,T]} nazywamy mostem Browna z a do b jeśli EX_{t} = a(1 − \frac{t}{T}) + b\frac{t}{T} oraz Cov(X_{t}, X_{s}) = min(s, t) − \frac{st}{T} (zakładamy, że wiadomo, iż taki proces itnieje)

a) udowodnij, że istnieje modyfikacja procesu X_{t} mająca ciągłe trajektorie b) co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii ciągłej modyfikacji tego procesu?

3. Niech W_{t} będzie ruchem Browna startującym z zera, a > 0 > b oraz T = inf{t : W_{t} > a + bt}, T_{{a}} = inf{t : W_{t} = a}. Pokaż, że dla λ > 0

Ee^{−λT} = e^{−a(b+\sqrt{b^{2}+2λ} )}

i wywnioskuj stąd, że

Ee^{−λT_{\{a\}}} = e^{−a\sqrt{2λ}} .

(Wskazówka: e^{sW_{t}−s^{2}t/2} jest martyngałem dla dowolnego parametru s, zastosuj twierdzenie Dooba)

4. Niech W_{t} będzie procesem Wienera startującym z zera, zaś τ momentem zatrzymania względem filtracji F_{t} = F_{t}^{W} takim, że τ < ∞ p.n.. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych u_{1}, …, u_{k} oraz 0 = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} zachodzi

E(e^{i ∑ _{l=1}^{k} u_{l}(W_{τ+t_{l}} −W_{τ+t_{l−1}} )} |F_{τ}) = e^{− \frac{1}{2} ∑ _{l=1}^{k} u_{l}^{2}(t_{l}−t_{l−1} )} p.n.

Wywnioskuj stąd, że (W_{t+τ} −W_{τ})_{t 0} jest procesem Wienera niezależnym od F_{τ}.