Zadania zaliczeniowe

1. Niech (W_{t})_{t≥0} bȩdzie ruchem Browna startuja̧cym z zera, rozpatrzmy nastȩpuja̧ce trzy procesy

a) e^{−2t}W_{e^{t}}, t ∈ (−∞, ∞)

b) W_{t+1} − W_{t}, t ≥ 0

c) tW_{1/t}, t > 0. Znajdź funkcjȩ wartości średniej i kowariancji dla tych procesów. Które z tych procesów sa̧ stacjonarne, a które maja̧ przyrosty niezależne?

2. Ustalmy T > 0 i liczby rzeczywiste a, b. Proces gaussowski (X_{t})_{t∈[0,T]} nazywamy mostem Browna z a do b jeśli EX_{t} = a(1 − \frac{t}{T}) + b\frac{t}{T} oraz Cov(X_{t}, X_{s}) = min(s, t) − \frac{st}{T} (zakładamy, że wiadomo, iż taki proces itnieje)

a) udowodnij, że istnieje modyfikacja procesu X_{t} maja̧ca cia̧głe trajektorie

b) co można powiedzieć o hölderowskości trajektorii cia̧głej modyfikacji?

3. Załóżmy, że N_{t} jest procesem Poissona z intensywnościa̧ λ > 0, zaś cia̧gi a_{n}, b_{n} sa̧ rosna̧ce do nieskończoności

a) udowodnij, że zmienna X = lim sup_{n→∞} \frac{N_{an}}{b_{n}} jest stała p.w. tzn. istnieje c ∈ [0, ∞] takie, że P (X = c) = 1.

b) znajdź cia̧gi a_{n}, b_{n} dla których X = 1 p.w.

c) znajdź proces (Y_{t})_{t≥0} taki, że lim sup_{n→∞} \frac{Y_{n}}{n} nie jest stały p.w.

4. Zmienne losowe X_{n} sa̧ niezależne o średniej zero oraz ∑_{n=1}^{∞} \frac{EX_{n}^{2}}{n^{2}} < ∞. Wykaż, że

\frac{X_{1} + … + X_{n}}{n} → 0 p.w.

(Wskazówka: wykaż najpierw, że dla ε > 0

P (sup_{k≤2^{n}} | ∑_{i=1}^{k} X_{i}| > ε2^{n}) ≤ ∑_{i=1}^{2^{n}} \frac{EX_{i}^{2}}{ε^{2}2^{2n}} ,

a później zastosuj lemat Borella-Cantelli)

5. Niech W_{t} bȩdzie ruchem Browna startuja̧cym z zera, a > 0 > b oraz T = inf{t : W_{t} > a + bt}, T_{{a}} = inf{t : W_{t} = a}. Pokaż, że dla λ > 0

Ee^{−λT} = e^{−a(b+\sqrt{b^{2}+2λ})}

i wywnioskuj sta̧d, że

Ee^{−λT_{\{a\}}} = e^{−a\sqrt{2λ}}.

(Wskazówka: e^{sW_{t}−s^{2}t/2} jest martyngałem dla dowolnego parametru s, zastosuj twierdzenie Dooba)

6. Załóżmy, że T = [0, ∞), dla 0 ≤ s ≤ t, x ∈ R określmy P (s, x, t, ·) jako rozkład normalny o średniej m_{s,t}x i wariancji σ_{s,t}^{2}. Znajdź warunki konieczne i dostateczn na funkcje (m_{s,t}, σ_{s,t})_{s≤t} by istniała rodzina Markowa o funkcjach przejścia równych P (s, x, t, Γ).