Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 8

1. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie bezatomowym. Zdefiniujmy dystrybuanty empiryczne

F_{n}(t) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} 1_{\{X_{i} t\}} .

Wykazać, że z prawdopodobieństwem 1 F_{n} zbiega jednostajnie do F. Uwaga: Założenie o braku atomów można opuścić, jest to tzw. Twierdzenie Gliwenki-Cantellego.

2. Wykazać, że prawie wszystkie liczby x ∈ [0, 1] są normalne względem każdej podstawy d, tzn. każda cyfra w zapisie x w systemie o podstawie d występuje z częstotliwością 1/d.

3. Wykazać, że jeżeli VarX_{n} C < ∞ oraz cor(X_{i}, X_{j}) → 0, gdy |i − j| → ∞, to ciąg (X_{n}) spełnia słabe prawo wielkich liczb.

4. Niech f: [0, 1] → ℝ będzie funkcją ciągła. Obliczyć

• lim_{n} \frac{1}{\sqrt{n}} ∫_{[0,1]^{n}} \sqrt{x_{1}^{2} + … + x_{n}^{2}} dx_{1} …dx_{n}

• lim_{n} ∫_{[0,1]^{n}} f(\frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} )dx_{1} …dx_{n}

• lim_{n} ∫_{[0,1]^{n}} f((x_{1} …x_{n})^{1/n})dx_{1} …dx_{n}.

5. Niech X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, … będą zmiennymi i.i.d o rozkłądzie jednostajnym na (0, 1). Niech f : [0, 1] → [0, 1] będzie funkcją mierzalną, zaś Z_{i} = 1_{{f(X_{i})>Y_{i}}} . Zbadać zbieżność p.n. ciągu

\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i}.

6. Niech X_{i}, X_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że ℙ(X_{n} = 1) = ℙ(X_{n} = −1) = p_{n}, ℙ(X_{n} = 0) = 1 − 2p_{n}. Znaleźć warunek konieczny i dostateczny, na to by ciąg (X_{n}) spełniał MPWL.

7. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach F_{1}, F_{2}, … Wykazać, że ℙ(sup_{n} X_{n} < ∞) ∈ {0, 1} oraz, że powyższe prawdopodobieństwo jest równe 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ _{n}(1 − F_{n}(x)) < ∞ dla jakiegoś x.

8. Rozważmy szereg ∑ _{n} a_{n}ε_{n}, gdzie ε_{1}, ε_{2}, … to niezależne zmienne Rademachera. Wykazać, że powyższy szereg jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ _{n} a_{n}^{2} < ∞.

9. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi zmiennnymi losowymi. Rozważmy losowy szereg potęgowy (tzn. szereg potęgowy z losowymi współczynnikami) ∑ _{n} X_{n}z^{n}. Niech R oznacza jego promień zbieżności. Wykazać, że zmienna R jest stała p.n.

10. Niech X_{1}, X_{2}, … będą zmiennymi niezależnymi o wspólnym rozkładzie i skończonej wariancji. Zdefiniujmy średnią i wariancję empiryczną jako

m_{n} = \frac{X_{1} + … + X_{n}}{n} σ_{n}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{k=1}^{n} (X_{k} − m_{n})^{2}.

Udowodnić, że 𝔼m_{n} = 𝔼X_{1}, 𝔼σ_{n}^{2} = VarX_{1} oraz, że m_{n} → 𝔼X_{1}, σ_{n}^{2} → VarX_{1} p.n.