Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 7

1. (Wielomiany Bernsteina)Niech f będzie funkcją ciągłą określoną na przedziale [0, 1]. Określmy ciąg wielomianów

B_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} f ( \frac{k}{n}) \binom{n}{k} x^{k}(1 − x)^{n−k} .

Wykazać, że B_{n} zbiegają jednostajnie do funkcji f.

2. Udowodnić, że jeśli zmienne X, Y są ograniczone oraz mają takie same momenty, to mają ten sam rozkład.

3. Rozważmy zmienną losową X o rozkładzie logarytmiczno-normalnym, tzn. o gęstości

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{1}{x}e^{− log^{2} x/2} 1_{ℝ_{+}} (x)

oraz zmienną Y o gęstości g(x) = f(x)(1+sin(2π logx)). Wykazać, że zmienne X, Y mają takie same momenty oraz różne rozkłady.

4. Skonstruować ciąg zmiennych losowych, który zbiega w L^{p}, ale nie zbiega p.n.

5. Skonstruować ciąg zmiennych losowych, który jest zbieżny według prawdopodobieństwa, ale nie zbiega w L^{p} dla żadnego p.

6. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ℙ). Wykazać, że jeśli P jest rozkładem dyskretnym to zbieżność według prawdopodobieństwa na Ω jest równoważna zbieżności p.n.

7. Udowodnić, że granica względem prawdopodobieństwa jest wyznaczona jednoznacznie.

8. Wykazać, że jeśli dla pewnego ciągu ε_{n} o wyrazach dodatnich, zbiegającego monotonicznie do 0 mamy

∑_{n=1}^{∞} ℙ(|X_{n} − X| > ε_{n}) < ∞,

to X_{n} → X p.n.

9. Niech L^{0} = L^{0}(Ω, F, ℙ) będzie przestrzenią wszystkich zmiennych losowych (utożsamiamy zmienne równe p.n.) Zdefiniujmy

ρ(X, Y) = 𝔼 ( \frac{|X − Y |}{1 + |X − Y |} ) .

Wykazać, że (L^{0}, ρ) jest przestrzenią metryczną zupełną, w której zbieżność jest równoważna zbieżności według prawdopodobieństwa. Wykazać, że jeśli zbieżność według prawdopodobieństwa na Ω nie jest równoważna zbieżności p.n., to zbieżność p.n. nie jest metryzowalna.

10. Niech X_{1}, X_{2}, … będą niezależnymi całkowalnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie. Wykazać, że \frac{1}{n} max_{i n} |X_{i}| zbiega do 0 wg prawdopodobieństwa.