Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 6

1. Dysponujemy dwoma wynikami pomiarów pewnej wielkości fizycznej. Błędy poszczególnych pomiarów to zmienne losowe X_{1}, X_{2} o średniej 0 i wariancjach odpowiednio σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}. Jako ostateczny wynik chcielibyśmy przyjąć średnią ważoną z wyników poszczególnych pomiarów. Jakie wagi przyjąć by błąd średniokwadratowy (czyli wariancja ostatecznego wyniku) był jak najmniejszy? Zakładamy, że pomiary są niezależne.

2. (Nierówność Bernsteina) Niech ε_{1}, ε_{2}, … będzie ciągiem niezależnych zmiennych Rademachera, zaś S_{n} = ∑ _{i=1}^{n} ε_{i}. Wykazać, że

ℙ ( \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} > r) e^{−r^{2}/2}

dla r 0.

3. Niech X będzie rzeczywistą zmienną losową. Przypuśćmy, że F_{X} jest prawie wszędzie

różniczkowalna oraz

∫_{−∞}^{∞} F′(s)ds = 1.

Wykazać, że wówczas F′_{X} jest gęstością X.

4. Zmienne losowe X, Y są niezależne, przy czym dystrybuanta X jest ciągła. Wykazać, że ℙ(X = Y) = 0.

5. Zmienne X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy. Znaleźć rozkład zmiennej X − Y.

6. Niech U = X ∧ Y, zaś V = X ∨ Y − U, gdzie X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy. Wykazać, że zmienne U, V są niezależne.

7. Roztrzepana sekretarka umieściła n listów w n uprzednio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczbę listów, które trafiły do właściwych kopert. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X.

8. Urna zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy bez zwracania n kul (n N) i definiujemy zmienną losową X jako liczbę wylosowanych kul białych. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X.

9. Znaleźć gęstość i dystrybuantę zmiennej X_{1}+…+X_{n}, gdzie X_{i} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

10. Niech X_{i} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zdefiniujmy N_{t} = sup{n: X_{1} + … + X_{n} t}. Znaleźć rozkład zmiennej N_{t}.

11. Niech ε_{1}, ε_{2}, …, ε_{n} będą niezależnymi zmiennymi Rademachera, natomiast a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} liczbami rzeczywistymi, takimi że |a_{i}| |b_{i}| dla i = 1, …, n. Wykazać, że dla p 1

𝔼 |∑_{i=1}^{n} a_{i}ε_{i} |^{p} 𝔼 |∑_{i=1}^{n} b_{i}ε_{i} |^{p}

12. Niech X_{1}, …, X_{n} oraz Y_{1}, …, Y_{n} będą dwoma ciągami niezależnych symetrycznych zmiennych losowych, takimi że ℙ(|X_{i}| > t) ℙ(|Y_{i}| > t) dla i = 1, …, n oraz t ∈ ℝ. Wykazać, że dla p 1

𝔼 |∑_{i=1}^{n} X_{i} |^{p} 𝔼 |∑_{i=1}^{n} Y_{i} |^{p}