Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 4 Dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej, parametry rozkładów.

1. Wyrazić zdarzenia ℙ(X > t), ℙ(X < t), ℙ(X = t) przy pomocy dystrybuanty F_{X}.

2. Ciągła dystrybuanta F ma ciągłą pochodną g a) wszędzie, b) poza zbiorem Z bez punktów skupienia. Wykazać, że g jest gęstością dystrybuanty F.

3. Rozwiązać poprzednie zadanie bez założenia o ciągłości g.

4. Niech F będzie dystrybuantą pewnego rozkładu i niech F (t) = ∫_{−∞}^{t} g(x)dx dla pewnej funkcji g. Wykazać że g jest gęstością F.

5. Niech A będzie zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Czy ℙ(·|A) ma gęstość względem ℙ?

6. Zmienna X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Zdefiniujmy nową zmienną Y = 1 − e^{−X} . Znaleźć dystrybuantę Y. Czy Y ma gęstość? Jeśli tak, znaleźć ją.

7. Nieujemna zmienna losowa X z gęstością ma własność braku pamięci, tzn. dla s, t 0 zachodzi ℙ(X > t + s|X > s) = ℙ(X > t). Wykazać, że X ma rozkład wykładniczy.

8. Znaleźć wszystkie rozkłady na liczbach naturalnych z własnością braku pamięci. Uwaga: w tym przypadku w definicji z poprzedniego zadania rozpatrujemy tylko t, s naturalne.

9. Znaleźć wartości oczekiwane i wariancje podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa.

10. Roztrzepana sekretarka umieściła n listów w n uprzednio zaadresowanych kopertach. Niech X oznacza liczbę listów, które trafiły do właściwych kopert. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X.

11. Urna zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy bez zwracania n kul (n N) i definiujemy zmienną losową X jako liczbę wylosowanych kul białych. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję X.

12. Udowodnić, że jeśli X, Y są ograniczone i mają takie same momenty, to mają takie same rozkłady.

Zadania domowe

1. Zmienna losowa ma rozkłąd jednostajny na odcinku [0, 2] (czyli rozkład o gęstości f(t) = \frac{1}{2}1_{[0,2]}(t)). Znaleźć rozkłady zmiennych losowych Y = min(X, X^{2}), i Z = max(1, X).