Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 4 Wzór Bayesa, niezależność zdarzeń, Lemat Borela-Cantelliego, zmienne losowe.

1. Wśród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna?

2. Niech (A_{i})_{i∈I} będą niezależnymi π-układami. Udowodnić, że (σ(A_{i}))_{i∈I} także są niezależne.

3. Rozpatrzmy X_{i} - nieskończony ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie p = ℙ(X_{i} = 1) = 1 − ℙ(X_{i} = 0) = 1 − q. Wykazać, że jeśli p ∉ {0, 1}, to z prawdopodobieństwem 1, każdy skończony ciąg zero-jedynkowy powtarza się nieskończenie wiele razy w ciągu (X_{i}).

4. Podać przykład zmiennych losowych X, Y, Z, parami niezależnych, ale nie niezależnych.

5. Dwaj gracze rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucą tę samą liczbę orłów?

6. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Znaleźć ℙ(X > t + s|X > s).

7. Niech X_{i} (i = 1, 2) będzie zmienną losową z gęstością f_{i}. Wykazać, że jeśli X_{1}, X_{2} są niezależne, to (X_{1}, X_{2}) jest wektorem losowym o rozkładzie ciągłym, z gęstością f(x, y) = f_{1}(x)f_{2}(y).

8. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają gęstości odp. f_{1}, f_{2}. Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = X/Y.

9. Wykazać, że funkcje r_{n}(t) = sgncos(2^{n}πt) potraktowane jako zmienne losowe na przestrzeni ([0, 1], B([0, 1]), | · |) są niezależne.

10. Niech Z = ∑ _{i=1}^{∞} ε_{i}2^{−i} , gdzie ε_{i} – niezależne zmienne Rademachera. Wykazać, że Z ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 1].

11. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi o rozkladach

a) Bernoulliego z parametrami odp. p, n i p, m

b) Poissona z parametrami odp. λ_{1}, λ_{2}.

c) normalnych z parametrami a_{1}, σ_{1}^{2} i a_{2}, σ_{2}^{2}.

d) jednostajnych na [0, 1]

Znaleźć rozkład zmiennej Z = X + Y.

Zadania domowe

1. Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiąc, daje fałszywą odpowiedź pozytywną w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba u której test dał wynik pozytywny, jest naprawdę chora?

2. Wykazać, że jeśli F: ℝ → ℝ jest niemalejąca, prawostronnie ciągła, F (−∞) = 0, F (∞) = 1, to funkcja f: (0, 1) → ℝ, dana wzorem

f(s) = sup{u: F (u) < s}

jest dobrze określona oraz jeśli spojrzymy na (0, 1) jak na przestrzeń probabilistyczną, gdzie prawdopodobieństwem jest miara Lebesgue’a, to f jest zmienną losową o dystrybuancie F.