Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 3

1. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu • dwupunktowego

• Bernoulliego

• geometrycznego

• Poissona

• normalnego

• wykładniczego

• jednostajnego jako funkcję parametrów definiujących rozkład.

2. Wykazać, że zmienna losowa o rozkładzie Cauchy’ego nie ma wartości oczekiwanej.

3. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1), to zmienna Y = σX + a ma rozkład N (a, σ^{2}).

4. Niech p_{n} będzie ciągiem liczb nieujemnych, spełniającym lim_{n→∞} np_{n} = λ. Wykazać, że

jeśli μ_{n} jest rozkładem Bernoulliego o parametrach p_{n}, n, to

lim_{n→∞} μ_{n}({k}) = μ({k}),

gdzie μ jest rozkładem Poissona z parametrem λ.

5. Niech X będzie zmienną losową całkowalną z kwadratem Znaleźć minimum funkcji ϕ(t) = 𝔼(X − t)^{2}.

6. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości naturalne, to

𝔼X = ∑_{k=0}^{∞} ℙ(X > k).

7. Udowodnić, że dla nieujemnej zmiennej losowej X zachodzi

𝔼X^{p} = p ∫_{0}^{∞} t^{p−1} ℙ(X > t)dt.

Wywnioskować stąd tezę poprzedniego zadania.

8. Udowodnić, że jeśli X 0, zaś funkcja ϕ jest rosnąca, różniczkowalna, ϕ(0) = 0, to 𝔼ϕ(X) = ∫_{0}^{∞} ϕ′(t)ℙ(X > t)dt.