Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 2 Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

1. (Paradoks kawalera de Méré) Przy rzucie trzema kostkami sumę 11 i 12 oczek można uzyskać na tyle samo sposobów. Dlaczego częściej wypada suma 11?

2. (Paradoks Bertranda) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana cięciwa okręgu ma długość większą niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

3. Do k rozróżnialnych urn wrzucono losowo n rozróżnialnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie m urn pozostanie pustych?

4. Rozwiązać powyższe zadanie dla kul nierozróżnialnych.

5. Z jeziora wyłowiono 200 ryb, oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb, a wśród nich było 8 oznakowanych. Za rozsądną ocenę liczby ryb w jeziorze można uznać liczbę ryb, dla której zrealizowało się zdarzenie o największym prawdopodobieństwie. Jaka to liczba?

6. Każdy z n chromosomów w komórce wystawionej na promieniowanie dzieli się na dwie części różnych typów (powiedzmy typu A i typu B). Części te następnie ponownie łączą się w pary, przy czym możliwe jest także połączenie w parę 2 części tego samego typu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że części te połączą się w takich samych kombinacjach, jak przed podziałem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że po połączeniu każda z par będzie się składać z części różnych typów?

7. (*) Dane są liczby k, n ∈ ℕ (k > 1), spełniające nierówność n < 2^{k/2}. Udowodnić, że liczby ze zbioru A_{n} = {1, …, n} można pokolorować dwoma kolorami w ten sposób, by w każdym ciągu arytmetycznym długości k, o elementach ze zbioru A_{n} występowały liczby w obu kolorach.

Zadanie domowe

1. W kolejce po bilety na mecz stoi n kibiców. Każdy z nich nosi szalik w kolorze A lub B. Załóżmy, że wszystkie możliwe układy kolorów są jednakowo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kolejne osoby nie mają szalików w tym samym kolorze? Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kolejne osoby nie mają szalików w kolorze A? Jakie jest prawdopodobieństwo, że za żadnym kibicem z szalikiem w kolorze A nie stoi bezpośrednio kibic z szalikiem w kolorze B?