Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 2

1. W kolejce po bilety na mecz stoi n kibiców. Każdy z nich nosi szalik w kolorze A lub B. Załóżmy, że wszystkie możliwe układy kolorów są jednakowo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kolejne osoby nie mają szalików w tym samym kolorze? Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie kolejne osoby nie mają szalików w kolorze A?

2. Miasto N. zbudowane jest na planie kwadratu i poszatkowane ulicami biegnącymi ze wschodu na zachód i z północy na południe, przy czym ulic każdego typu jest po N = 2n+ 1. Kierowca jedzie z południowo-zachodniego wierzchołka miasta na kraniec północnowschodni, wybierając losowo jedną z najkrótszych dróg. Oblicz prawdopodobieństwo, że kierowca przejedzie przez środek miasta.

3. Do k rozróżnialnych urn wrzucono losowo n rozróżnialnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie k urn pozostanie pustych?

4. Rozwiązać powyższe zadanie dla kul nierozróżnialnych.

5. (Paradoks Bertranda) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana cięciwa okręgu ma długość większą niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

6. Z jeziora wyłowiono 200 ryb, oznakowano je i wpuszczono do wody. Po pewnym czasie wyłowiono 100 ryb, a wśród nich było 8 oznakowanych. Za rozsądną ocenę liczby ryb w jeziorze można uznać liczbę ryb, dla której zrealizowało się zdarzenie o największym prawdopodobieństwie. Jaka to liczba?

7. Dana są liczby k, n ∈ ℕ (k > 1), spełniające nierówność n < 2^{k/2}. Udowodnić, że liczby ze zbioru A_{n} = {1, …, n} można pokolorować dwoma kolorami w ten sposób, by w każdym ciągu arytmetycznym długości k, o elementach ze zbioru A_{n} występowały liczby w obu kolorach.

8. Każdy z n chromosomów w komórce wystawionej na promieniowanie dzieli się na dwie części różnych typów (powiedzmy typu A i typu B). Części te następnie ponownie łączą się w pary, przy czym możliwe jest także połączenie w parę 2 części tego samego typu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że części te połączą się w takich samych kombinacjach, jak przed podziałem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że po połączeniu każda z par będzie się składać z części różnych typów?

9. (Paradoks kawalera de Méré) Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostkami czy co najmniej raz obu jedynek przy 24 rzutach 2 kostkami?