Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 σ-ciała, prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

1. Udowodnij, że każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne.

2. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ℙ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2^{Ω} . Udowodnij, że istnieją liczby p_{ω} 0, takie że ℙ(A) = ∑ _{ω∈A} p_{ω} dla wszystkich A ∈ F.

3. a) Opisz wszystkie σ-ciała w przypadku przeliczalnego zbioru Ω.

b) Niech Ω = ℕ. Dla dowolnej liczby naturalnej k > 0 niech A_{k} = {n ∈ Ω: k|n}. Wyznaczyć σ({A_{k}}_{k 0} ). Rozwiązać to samo zadanie dla Ω = ℤ.

4. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ℙ). Korzystając z aksjomatów prawdopodobieństwa, wykazać, że

a) ℙ(∅) = 0,

b) ℙ(A) 1 dla A ∈ F,

c) ℙ(⋃ _{i=1}^{∞} A_{i}) ∑ _{i=1}^{∞} ℙ(A_{i}) dla A_{i} ∈ F

5. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany.

6. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo liczbę x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x jest niewymierna?

7. Roztrzepana sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty.

8. Pan X spotyka się z paniami A i B, do których dojeżdża autobusami odpowiednio linii 1 i 2. Gdy czuje się samotny, wychodzi z domu, udaje się na przystanek i wsiada w pierwszy autobus, jaki się pojawi. Oba autobusy kursują przez całą dobę co godzinę, a pan X ma napady samotności codziennie w losowym momencie czasu, a jednak pani A czyni mu wyrzuty, że odwiedza ją zbyt rzadko, zaś pani B ma wrażenie, że pan X jej się narzuca. Jak to wyjaśnić?

9. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt?

10. (Igła Buffona) Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie krawędź deski?

11. (Paradoks kawalera de Méré) Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie co najmniej jednej jedynki przy rzucie 4 kostkami czy co najmniej raz obu jedynek przy 24 rzutach 2 kostkami?

Zadanie domowe

Udowodnij, że następujące pseudometryki na F spełniają warunek trójkąta:

ρ_{1}(A, B) = ℙ(AΔB)
ρ_{2}(A, B) = \{ \begin{matrix}\frac{ℙ(AΔB)}{ℙ(A∪B)} & jeśli ℙ(A ∪ B) > 0 \\ 0 & w przeciwnym razie. \end{matrix}