Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1

1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ℙ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2^{Ω} . Udowodnij, że istnieją liczby p_{ω} 0, takie że ℙ(A) = ∑ _{ω∈A} p_{ω} dla wszystkich A ∈ F.

2. Udowodnij, że każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne.

3. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany.

4. Roztrzepana sekretarka rozmieściła losowo N listów w N uprzednio zaadresowanych kopertach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty.

5. (Igła Buffona) Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o szerokości a l. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie krawędź deski?

6. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo liczbę x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x jest niewymierna?

7. W n rozróżnialnych urnach rozmieszczono losowo n rozróżnialnych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna urna zostanie pusta?

8. Na przyjęciu dla n osób podano k identycznych (nierozróżnialnych) ciastek. Wszystkie ciastka zostały zjedzone. Jakie jest prawdopodobieńtwo, że dokładnie jedna osoba nie zjadła ani jednego ciastka?

9. Udowodnij, że następujące pseudometryki na F spełniają warunek trójkąta:

ρ_{1}(A, B) = ℙ(AΔB)
ρ_{2}(A, B) = \{ \begin{matrix}\frac{ℙ(AΔB)}{ℙ(A∪B)} & jeśli ℙ(A ∪ B) > 0 \\ 0 & w przeciwnym razie. \end{matrix}

10. Pan X spotyka się z paniami A i B, do których dojeżdża autobusami odpowiednio linii 1 i 2. Gdy czuje się samotny, wychodzi z domu, udaje się na przystanek i wsiada w pierwszy autobus, jaki się pojawi. Oba autobusy kursują przez całą dobę co godzinę, a pan X ma napady samotności codziennie w losowym momencie czasu, a jednak pani A czyni mu wyrzuty, że odwiedza ją zbyt rzadko, zaś pani B ma wrażenie, że pan X jej się narzuca. Jak to wyjaśnić?

11. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt?