Dodatkowe zadania domowe

Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 5 punktów. Zadania traktowane są jako uzupełniające, tzn. suma uzyskanych z nich punktów oraz punktów już zdobytych z prac domowych nie może przekroczyć maksymalnej możliwej do uzyskania sumy punktów z dotychczasowych prac domowych w poszczególnych grupach (w przypadku przekroczenia zaokrąglamy w dół).

1. Z odcinka [−1, 1] wybrano losowo dwie liczby x, y. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość punktu (x, y) od punktu (0, 0) jest mniejsza od 1?

2. Jest n osób: A_{1}, …, A_{n}. Osoba A_{1} dostaje kartkę ze znakiem +. Z prawdopodobieństwem p, 0 < p < 1, zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{2}, która z prawdopodobieństwem p zmienia znak na przeciwny i podaje kartkę osobie A_{3}, itd. Na zakończenie, po oddaniu kartki przez osobę A_{n}, zaobserwowano znak +. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba A_{1} nie zmieniła znaku?

3. W mieście działają dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Świadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, że świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli się w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?

4. Jeśli μ jest rozkładem prawdopodobieństwa na ℝ^{n}, to jego rozkładem brzegowym nazy-

wamy rozkład

μ_{j}(B) = μ(ℝ × … × ℝ × B × … × ℝ),

gdzie B występuje na j-tym miejscu w iloczynie kartezjańskim, B ∈ B(ℝ). Udowodnić, że jeśli rozkład μ jest ciągły (tzn. μ ma gęstość), to jego rozkłady brzegowe też są ciągłe. Pokazać, że implikacja przeciwna nie zachodzi.

5. Podać przykład dystrybuanty, której zbiór punktów nieciągłości jest gęsty w ℝ.

6. Niech Z = ∑ _{i=1}^{∞} ε_{i}2^{−i} gdzie ε_{i} - niezależne zmienne Rademachera, tzn. ℙ(ε_{i} = 1) = ℙ(ε_{i} = −1) = 1/2. Wykazać, że Z jest dobrze określoną zmienną losową oraz ma rozkład jednostajny na [−1, 1].

7. W chwili t, t = 2, 3, … cząstka albo znika z prawdopodobieństwem q, albo przekształca się w m takich samych cząstek z prawdopodobieństwem p = 1−q. Jaka jest średnia liczba cząstek w n-tym pokoleniu (startujemy z pojedynczej cząstki)?

8. Wyznaczyć rozkład sumy trzech niezależnych zmiennych losowych o rozkładach jednostajnych na przedziale [0, 1].

9. Niech U = min(X, Y), V = max(X, Y) − min(X, Y), gdzie X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wykazać, że U i V są niezależne.