14. Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej

Część 1.: Zadania, rozwiązania, rozwiązania zadań domowych.
Część 2.: Zadania, rozwiązania.

Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej

Do tej pory zajmowaliśmy się przestrzeniami liniowymi, co oznacza, że wszystkie nasze proste, płaszczyzny i inne podprzestrzenie liniowe przechodziły przez środek układu współrzędnych, czyli zawierały wektor zerowy. Ale oczywiście ma sens porozmawiać także o takich przestrzeniach tylko, że przesuniętych o pewien wektor względem ,,zera”. Takie podprzestrzenie (już nie są podprzestrzeniami liniowymi z oczywistych względów) nazywać będziemy podprzestrzeniami afinicznymi tej przestrzeni liniowej, w której pracujemy lub warstwami podprzestrzeni liniowej. Hiperpłaszczyznami zwykło się nazywać warstwy o wymiarze o jeden mniejszym niż cała przestrzeń.

Czyli jeśli $V$ to podprzestrzeń liniowa oraz $v$ to wektor, to $M=v+V$ (czyli przestrzeń $V$ przesunięta o wektor $v$ ), to podprzestrzeń afiniczna. Przestrzeń $V$ będziemy nazywać (co może nie być bardzo intuicyjne) przestrzenią styczną do $M$ i oznaczać $T(M)$ (lub $\vec{M}$ ).

Warstwę możemy zadań w następujący sposób:

zadając wektor przesunięcia i przestrzeń styczną, np.: $(1,0,-1)+lin((1,2,0),(0,1,1))$ .
zadając punkty, przez które ma przechodzić (potrzebne jest o $1$ więcej punktów, niż wymiar), np.: $(1,0,-1),(2,2,-1),(1,1,0)$ (oznaczane też przez $af((1,0,-1),(2,2,-1),(1,1,0))$ ).
zadając parametryzację, np.: $\{(1+t,2t+s,-1+t)\colon t,s\in\mathbb{R}\}$
zadając układ równań liniowych, który daną przestrzeń opisuje, np.:
$2x-y+z=0$

Jak zwykle, nauczmy się przechodzić pomiędzy tymi formami opisu.

Wektor przesunięcia i przestrzeń styczna, a zestaw punktów

Mając wektor przesunięcia i wektory rozpinające przestrzeń styczną, łatwo otrzymać punkty, przez które musi przechodzić warstwa. Np. jeśli $H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ , to jest zadana jako warstwa przechodząca przez punkty: $(1,0,0,-1),(1,0,0,-1)+(1,-1,0,1)=(2,-1,0,0), (1,0,0,-1)+(2,-1,1,0)=(3,-1,1,-1)$ .

W drugą stronę, jeśli mamy punkty: $(1,0,0,-1),(2,-1,0,0),(3,-1,1,-1)$ , to wybieramy jeden jako przesunięcie i mamy, że $H$ to $(1,0,0,-1)+lin((2,-1,0,0)-(1,0,0,-1),(3,-1,1,-1)-(1,0,0,-1))=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ .

Wektor przesunięcia i przestrzeń styczna, a parametryzacja

Mając wektor przesunięcia i wektory rozpinające przestrzeń styczną, łatwo otrzymać parametryzację danej warstwy. Np. jeśli $H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ , to każdy wektor w $H$ jest postaci $(1,0,0,-1)+t(1,-1,0,1)+s(2,-1,1,0)$ , czyli $H=\{(1+t+2s,-t-s,s,-1+t)\colon s,t\in\mathbb{R}\}$ .

W drugą stronę, mając dane, że $H=\{(1+t+2s,-t-s,s,-1+t)\colon s,t\in\mathbb{R}\}$ wiemy, że wektory z $H$ są postaci $(1,0,0,-1)+t(1,-1,0,1)+s(2,-1,1,0)$ , a zatem $H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ .

Z wektora przesunięcia i przestrzeni stycznej do układu równań

Układ równań opisujący warstwę różni się od układu opisującego przestrzeń styczną tylko kolumną wyrazów wolnych (jest tak, ponieważ różnica dwóch wektorów z $H$ zawsze należy do $T(H)$ , czyli różnica dwóch rozwiązań szukanego układu jest rozwiązaniem układu na przestrzeń styczną) — w tym drugim przypadku mamy do czynienia przecież z układem równań jednorodnych i umiemy go znajdywać. Zatem zaczynamy od tego. Mając $H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ zaczynamy od znalezienia układu równań na $T(H)=lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0))$ — to już umiemy i $T(H)$ jest zadane następującym układem równań:

$\begin{cases}-x-y+z=0\\x+2y+w=0\end{cases}$

Wektor przesunięcia ma być rozwiązaniem docelowego układu, a zatem wystarczy dobrać wyrazy wolne, tak żeby było to prawdą, podstawiając ten wektor do lewych stron równań: $-1-0+0=-1, 1+0+-1=0$ , a zatem szukany układ równań to:

$\begin{cases}-x-y+z=-1\\x+2y+w=0\end{cases}$

Z układu równań do parametryzacji

Zauważ, po prostu, że mając dany układ równań na $H$ , jego rozwiązanie ogólne to po prostu parametryzacja $H$ !

Rzuty i symetrie względem podprzestrzeni afinicznych

Jak policzyć rzut wektora na podprzestrzeń afiniczną lub jego obraz w symetrii względem takiej przestrzeni. Ano, sprowadzić do znanego przypadku, czyli podprzestrzeni liniowych, policzyć, wrócić do wyjściowej sytuacji. Czyli przesunąć całość tak, żeby podprzestrzeń afiniczna przechodziła przez zero, policzyć rzut, przesuną z powrotem.

Np. policzmy rzut $(2,2,1)$ na prostą $(2,1,0)+lin(-1,-1,0)$ . Zatem najpierw liczymy rzut $(2,2,1)-(2,1,0)=(0,1,1)$ na $lin(-1,-1,0)$ :