14. Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej

Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej

Do tej pory zajmowaliśmy się przestrzeniami liniowymi, co oznacza, że wszystkie nasze proste, płaszczyzny i inne podprzestrzenie liniowe przechodziły przez środek układu współrzędnych, czyli zawierały wektor zerowy. Ale oczywiście ma sens porozmawiać także o takich przestrzeniach tylko, że przesuniętych o pewien wektor względem ,,zera”. Takie podprzestrzenie (już nie są podprzestrzeniami liniowymi z oczywistych względów) nazywać będziemy podprzestrzeniami afinicznymi tej przestrzeni liniowej, w której pracujemy lub warstwami podprzestrzeni liniowej. Hiperpłaszczyznami zwykło się nazywać warstwy o wymiarze o jeden mniejszym niż cała przestrzeń.

Czyli jeśli V to podprzestrzeń liniowa oraz v to wektor, to M=v+V (czyli przestrzeń V przesunięta o wektor v), to podprzestrzeń afiniczna. Przestrzeń V będziemy nazywać (co może nie być bardzo intuicyjne) przestrzenią styczną do M i oznaczać T(M) (lub \vec{M}).

Warstwę możemy zadań w następujący sposób:

  • zadając wektor przesunięcia i przestrzeń styczną, np.: (1,0,-1)+lin((1,2,0),(0,1,1)).
  • zadając punkty, przez które ma przechodzić (potrzebne jest o 1 więcej punktów, niż wymiar), np.: (1,0,-1),(2,2,-1),(1,1,0) (oznaczane też przez af((1,0,-1),(2,2,-1),(1,1,0))).
  • zadając parametryzację, np.: \{(1+t,2t+s,-1+t)\colon t,s\in\mathbb{R}\}
  • zadając układ równań liniowych, który daną przestrzeń opisuje, np.:

        \[2x-y+z=0\]

Jak zwykle, nauczmy się przechodzić pomiędzy tymi formami opisu.

Wektor przesunięcia i przestrzeń styczna, a zestaw punktów

Mając wektor przesunięcia i wektory rozpinające przestrzeń styczną, łatwo otrzymać punkty, przez które musi przechodzić warstwa. Np. jeśli H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)), to jest zadana jako warstwa przechodząca przez punkty: (1,0,0,-1),(1,0,0,-1)+(1,-1,0,1)=(2,-1,0,0), (1,0,0,-1)+(2,-1,1,0)=(3,-1,1,-1).

W drugą stronę, jeśli mamy punkty: (1,0,0,-1),(2,-1,0,0),(3,-1,1,-1), to wybieramy jeden jako przesunięcie i mamy, że H to (1,0,0,-1)+lin((2,-1,0,0)-(1,0,0,-1),(3,-1,1,-1)-(1,0,0,-1))=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)).

Wektor przesunięcia i przestrzeń styczna, a parametryzacja

Mając wektor przesunięcia i wektory rozpinające przestrzeń styczną, łatwo otrzymać parametryzację danej warstwy. Np. jeśli H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)), to każdy wektor w H jest postaci (1,0,0,-1)+t(1,-1,0,1)+s(2,-1,1,0), czyli H=\{(1+t+2s,-t-s,s,-1+t)\colon s,t\in\mathbb{R}\}.

W drugą stronę, mając dane, że H=\{(1+t+2s,-t-s,s,-1+t)\colon s,t\in\mathbb{R}\} wiemy, że wektory z H są postaci (1,0,0,-1)+t(1,-1,0,1)+s(2,-1,1,0), a zatem H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)).

Z wektora przesunięcia i przestrzeni stycznej do układu równań

Układ równań opisujący warstwę różni się od układu opisującego przestrzeń styczną tylko kolumną wyrazów wolnych (jest tak, ponieważ różnica dwóch wektorów z H zawsze należy do T(H), czyli różnica dwóch rozwiązań szukanego układu jest rozwiązaniem układu na przestrzeń styczną) — w tym drugim przypadku mamy do czynienia przecież z układem równań jednorodnych i umiemy go znajdywać. Zatem zaczynamy od tego. Mając H=(1,0,0,-1)+lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)) zaczynamy od znalezienia układu równań na T(H)=lin((1,-1,0,1),(2,-1,1,0)) — to już umiemy i T(H) jest zadane następującym układem równań:

    \[\begin{cases}-x-y+z=0\\x+2y+w=0\end{cases}\]

Wektor przesunięcia ma być rozwiązaniem docelowego układu, a zatem wystarczy dobrać wyrazy wolne, tak żeby było to prawdą, podstawiając ten wektor do lewych stron równań: -1-0+0=-1, 1+0+-1=0, a zatem szukany układ równań to:

    \[\begin{cases}-x-y+z=-1\\x+2y+w=0\end{cases}\]

Z układu równań do parametryzacji

Zauważ, po prostu, że mając dany układ równań na H, jego rozwiązanie ogólne to po prostu parametryzacja H!

Rzuty i symetrie względem podprzestrzeni afinicznych

Jak policzyć rzut wektora na podprzestrzeń afiniczną lub jego obraz w symetrii względem takiej przestrzeni. Ano, sprowadzić do znanego przypadku, czyli podprzestrzeni liniowych, policzyć, wrócić do wyjściowej sytuacji. Czyli przesunąć całość tak, żeby podprzestrzeń afiniczna przechodziła przez zero, policzyć rzut, przesuną z powrotem.

Np. policzmy rzut (2,2,1) na prostą (2,1,0)+lin(-1,-1,0). Zatem najpierw liczymy rzut (2,2,1)-(2,1,0)=(0,1,1) na lin(-1,-1,0):

    \[\frac{\left<(0,1,1),(-1,-1,0)\right>}{\left<(-1,-1,0),(-1,-1,0)\right>}(-1,-1,0)=\frac{-1}{2}(-1,-1,0)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right).\]

I przesuwamy z powrotem, żeby dostać ostateczny wynik: \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)+(2,1,0)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},0\right).