Ważniejsze twierdzenia z wykładu

Analiza I.1

W. Krycha

OSTRZEŻENIE!

Ta praca zawiera treści niebiezpieczne dla zdrowia, zwłaszcza przy długim stosowaniu!

Autor nie ponosi żadnej odpowiedzialności za zapisane tu twierdzenia, gdyż ta praca została stworzona tylko na jego potrzeby i ku jego wygodzie. To samo odnosi się do nazw twierdzeń.

Krzysztof Lichota MAT I

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Założenia:

aÎZ

b Î N*

Teza:

istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q,r t.ż. a=qb+r i 0 £ r < b

Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku

Założenia:

a,b Î Z

Teza:

istnieją x,y Î Z t.ż. (a,b)=ax+by

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki

Założenia:

n ¹ 0,± 1

n Î Z

Teza:

Każdą liczbę całkowitą n da się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności czynników i znaków.

Lemat do zasadniczego twierdzenia arytmetyki

Założenia:

pïab

(p,a)=1

Teza:

p ï b

Twierdzenie o gęstości Q w R

Założenia:

a,b Î Â

a<b

Teza:

istnieje q Î Q t.ż. a<q<b

Twierdzenie o istnieniu pierwiastków

Założenia:

a>0

n Î N

n>1

Teza:

istnieje dokładnie jedna liczba b>0 t.ż. bn=a

Twierdzenie

Założenia:

a Î N*

bn=a

n>1

Teza:

albo b Î Z albo n Ï Q

Twierdzenie o gęstości R\Q w R

Założenia:

a,b Î Â

a<b

Teza:

istnieje c Î R\Q t.ż. a<c<b

Twierdzenie o zachowywaniu nierówności przy przejściu granicznym

Założenia:

dpwn an £ bn

istnieją granice lim an , lim bn Î *)

Teza:

lim an £ lim bn

Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego do granicy skończonej

Założenia:

lim an =g Î Â

Teza:

istnieje M>0 t.ż. dla wszystkich n ïanï £ M

Twierdzenie o trzech ciągach

Założenia:

lim an = lim bn

dddn an £ bn £ cn

Teza:

(bn) ma granicę i lim an =lim bn = lim cn

Twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego

Założenia:

ciąg (an) jest monotoniczny [, ograniczony] **)

Teza:

(an ) ma granicę [skończoną]

Twierdzenie o wybieraniu podciągu monotonicznego

Założenia:

-

Teza:

Z każdego ciągu można wybrać podciąg monotoniczny

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Założenia:

[ciąg jest ograniczony]

Teza:

Z każdego ciągu można wybrać podciąg, który ma granicę [skończoną]

Twierdzenie Stolza

Założenia:

(bn ) ściśle monotoniczny i zachodzi jeden z dwóch warunków

lim an =0 =lim bn

lim bn = ¥

Teza:

ciąg ma granicę g Þ ciąg ma granicę równą g

Lemat

Założenia:

bd >0

Teza:

Twierdzenie o równoważności warunku Cauchy’ego i warunku zbieżności ciągu

Teza:

(an ) jest zbieżny do granicy skończonej Û (an ) spełnia warunek Cauchy’ego

Lemat

Założenia:

nan =0

Teza:

(1+an)n =1

Twierdzenie o jednoznaczności określenia funkcji wykładniczej

Założenia:

1 ¹ a>0

Teza:

istnieje dokładnie jedna funkcja ściśle monotoniczna *) f: Â®Â t.ż. ¦(x+y)= ¦(x)*¦(y) dla dowolnych x,y Î Â i ¦(1)=a

Twierdzenie o równoważności definicji granic Cauchy’ego i Heine’go

Teza:

Definicje granic w sensie Cauchy’ego i Heine’go są równoważne.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Założenia:

x0 jest punktem skupienia f,g,h

f(x) £ g(x) £ h(x)

f(x)=c=h(x)

Teza:

g(x)=c

Twierdzenie o granicach jednostronnych funkcji niemalejącej

Założenia:

f:D ® Â niemalejąca

Teza:

f ma granice jednostronne w każdym punkcie skupienia dziedziny

Twierdzenie o granicach jednostronnych funkcji wypukłej

Założenia:

f:(a,b) ® Â jest wypukła

Teza:

f ma skończone pochodne jednostronne w każdym punkcie (a,b)

Twierdzenie o warunkach wystarczających wypukłości funkcji

Założenia:

f:(a,b) ® Â

f ma skończone jednostronne pochodne w każdym punkcie

Teza:

Jeśli " x ( (x) £ (x) ) i " x,y ( x<y Þ (x)£ [<] f ‘(y) ) to f jest wypukła [ściśle]

Jeśli " x,y ( f(y) ³ [> dla x ¹ y] (x)(y-x)+f(x) to f jest wypukła [ściśle]

Jeśli " x,y ( f(y) ³ [> dla x ¹ y] (x)(y-x)+f(x) to f jest wypukła [ściśle]

Twierdzenie o funkcji wypukłej obciętej do przedziału domkniętego

Założenia:

f:(a,b) ® Â wypukła

[c,d] Ì (a,b)

Teza:

spełnia warunek Lipschitza

Twierdzenie Jensena

Założenia:

f jest wypukła [ściśle]

>0

=1

Teza:

dla dowolnych x1,..., xn jest f(p1x1 +...+pnxn)£ p1f(x1)+...+pnf(xn) [< zachodzi gdy wśród x1,..., xn są przynajmniej 2 różne]

Twierdzenie Peano

Założenia:

f ma n-tą pochodną w x0

Teza:

= =0

Twierdzenie

Założenia:

f(n+1) istnieje w pewnym przedziale P

g - funkcja różniczkowalna

g’ ¹ 0

Teza:

dla dowolnych x,y Î P istnieje c leżące między nimi t.ż.

Twierdzenie o równoważności warunku Cauchy’ego w punkcie z istnieniem granicy w punkcie

Teza:

f spełnia warunek Cauchy’ego w x0 będącym punktem skupienia dziedziny Û f(x) istnieje i jest skończone

Twierdzenie o granicy złożenia

Założenia:

f:A ® B , g:B ® Â

a jest punktem skupienia A, b jest punktem skupienia B

b= f(x)

G=g(x)

f(x) ¹ b dla x z pewnego otoczenia a lub G=g(b)

Teza:

istnieje granica g(f(x))=G

Twierdzenie o ciągłości złożenia

Założenia:

g ciągła w x0

f ciągła w g(x0)

Teza:

fog jest ciągła w x0

Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego

Założenia:

funkcja f:I ® Â jest ciągła

I jest przedziałem

Teza:

f ma własność Darboux

Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów

Założenia:

I Ì Â jest przedziałem domkniętym

f:I ® Â jest funkcją ciągłą

Teza:

istnieją punkty x0 , x1 Î I t.ż. x Î I Þ ¦(x0) £ ¦(x) £ ¦(x1) , w szczególności f jest ograniczona z dołu (przez ¦(x0) ) i z góry (przez ¦(x1) )

Twierdzenie Cantora o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej

Założenia:

I Ì Â jest przedziałem dokmniętym

f: I ® Â jest ciągła

Teza:

f jest jednostajnie ciągła

Twierdzenie o monotoniczności funkcji ciągłej

Założenia:

I jest przedziałem

f: I ® Â ciągła i 1-1

Teza:

f jest ściśle monotoniczna

Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej

Założenia:

D Ì Â

D jest przedziałem

f:D ® Â jest ściśle monotoniczna

f jest ciągła

Teza:

f -1 :f(D) ® D jest ciągła

Twierdzenie o jednoznaczności przedstawienia sinusa i cosinusa

Założenia:

x Î C, y Î C c,s - funkcje zespolone

c2(x)+s2(x)=1

c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)

s(x+y)=s(x)c(y)+s(y)c(x)

=1

Teza:

c(x)=cos(x) , s(x)=sin(x)

Twierdzenie

Założenia:

w ¹ 0

w Î C

Teza:

istnieje z Î C t.ż. w=ez

Twierdzenie

Założenia:

z1,z2 Î C

=

Teza:

istnieje n Î Z t.ż. z1- z2=2npi oraz ez=ez+2 pi

Twierdzenie o jednoznaczności funkcji wykładniczej

Założenia:

f: Â ® Â ciągła

f(x+y)=f(x)f(y) dla dowolnych x,y Î Â

istnieje x0 t.ż. ¦(x0) ¹ 0

Teza:

istnieje a>0 t.ż. dla każdego x f(x)=ax

Twierdzenie o jednoznaczności funkcji wykładniczej w C

Założenia:

f: C ® C

f(x+y)=f(x)f(y) dla dowolnych x,y Î C

=1

Teza:

f(x)=ex

Twierdzenie o pierwiastkach liczby zespolonej

Założenia:

z ¹ 0

z Î C

n Î N*

Teza:

istnieje dokładnie n liczb z1 ,... , zn t.ż. zjn = z

Zasadnicze twierdzenie algebry

Założenia:

a0, ..., an Î C

an ¹ 0

n Î N*

Teza:

istnieje co najmniej jedna liczba zespolona z0 t.ż. a0 + a1 z0 + ... + an z0n =0

Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Założenia:

f jest różniczkowalna w x0

Teza:

f jest ciągła w x0

Twierdzenie o jednoznaczności pochodnej

Założenia:

=0

Teza:

f ’(x0 ) jest jedyną taką liczbą a

Twierdzenie o różniczkowalności złożenia

Założenia:

P,S - otwarte

f:P ® S

g:S ® Â [C]

f różniczkowalna w x0 Î P

g różniczkowalna w ¦( x0 ) Î S

Teza:

gof: P ® Â [C] jest różniczkowalna w x0 i (gof)’ (x0) = g’(f(x0)) f ‘(x0)

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Założenia:

f:P ® Â różniczkowalna w x0

f(P) zawiera przedział otwarty zawierający ¦(x0)

f ‘(x0) ¹ 0

f -1:f(P) ® P jest ciągła w x0

Teza:

f -1 jest różniczkowalna w f(x0) i (f -1)’ (f(x0)) =

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej w C

?Założenia:

P otwarte w C

f:P ® C różniczkowalna w x0

f(P) zawiera otwarte koło zawierające ¦(x0)

f ‘(x0) ¹ 0

f -1:f(P) ® P jest ciągła w x0

Teza:

f -1 jest różniczkowalna w f(x0) i (f -1)’ (f(x0)) =

Twierdzenie Fermata

Założenia:

f:(a,b) ® Â różniczkowalna w x0

f(x0) jest największą ( lub najmniejszą) wartością f

Teza:

f’(x0) = 0

Twierdzenie Rolle’a

Założenia:

f:[a,b] ® Â ciągła, różniczkowalna w (a,b)

f(a)=f(b)

Teza:

istnieje c Î (a,b) t.ż. f ‘(c)=0

Twierdzenie Cauchy’ego o wartości średniej

Założenia:

g,f:[a,b] ® Â różniczkowalne w (a,b)

ciągłe w [a,b]

x Î (a,b) Þ g’(x) ¹ 0

Teza:

istnieje c Î (a,b) t.ż.

Lemat nierówności Schwarza

Założenia:

-

Teza:

przy czym równość zachodzi Û istnieje t ³ 0 t.ż. a=tb lub t=ba

Twierdzenie o pochodnej funkcji monotonicznej

Założenia:

f:P ® Â ciągła, różniczkowalna wewnątrz przedziału P

Teza:

f jest

niemalejąca Û " x Î intP f ‘(x) ³ 0

ściśle rosnąca Û " x Î intP f ‘(x) ³ 0 i między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt, w którym f ‘ jest >0

stała Û " x f ‘(x)=0

Reguła de l’Hospitala

Założenia:

f,g różniczkowalne w przedziale (x1, x0)

g’(t) ¹ 0 dla t Î (x1,x0)

G= oraz spełniony jest jeden z poniższych warunków:

f(x)=0= g(x)

ïg(x)ï = ¥

Teza:

istnieje =G

Twierdzenie Darboux

Założenia:

f:[a,b] ® Â jest różniczkowalna

Teza:

f ‘:[a,b] ® Â ma własność Darboux, w szczególności, jeśli f ‘(a)=A, f ‘(b)=B i C leży między A i B to istnieje c Î (a,b) t.ż. C=f ‘(c)

Twierdzenie o lokalnych ekstremach i punktach przegięcia

Założenia:

(I) *) f(n)(x0) ¹ 0 = f ‘(x0) = f ‘’(x0) = ... = f(n-1)(x0)

(II) *) f(n)(x0) ¹ 0 = f ‘’(x0) = ... = f(n-1)(x0)

Teza:

(I)	Jeśli n parzyste, to f ma w x0 lokalne ekstremum (maksimum, jeśli f(n)(x0)<0, minimum dla >0). Jeśli n nieparzyste to z jednej strony x0 f ma wartości > f(x0), a z drugiej < f(x0) (w dostatecznie małym otoczeniu x0)

(II)	Jeśli n nieparzyste to f ma punkt przegięcia w x0 ( f(n)(x0)>0 to istnieje d>0 t.ż. na przedziale [x0,x0+d) f jest ściśle wypukła, a na przedziale (x0-d,x0] f jest ściśle wklęsła. Jeśli n parzyste to f jest ściśle wypukła lub wklęsła na dostatecznie małym otoczeniu x0.

Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej kombinacji funkcji

Założenia:

f,g mają funkcje pierwotne

a,b Î Â(C, Ân)

Teza:

funkcja af+bg ma funkcję pierwotną i

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Założenia:

w,v - wielomiany

deg v ³ 0

Teza:

istnieje dokładnie jedna para wielomianów q,r t.ż. w=qv+r i deg r<deg v

Twierdzenie o największym wspólnym dzielniku

Założenia:

w,v - wielomiany

w ¹ 0 Ú v ¹ 0

Teza:

nwd jest określony jednoznacznie i istnieją wielomiany p,q t.ż. nwd(w,v)=pv+qw

Twierdzenie Bezout

Założenia:

a jest pierwiatkiem wielomianu w(x)

Teza:

w(x) dzieli się bez reszty przez wielomian (x-a)

Zasadnicze twierdzenie algebry dla Â

Założenia:

v -wielomian

degv ³ 1

Teza:

Każdy wielomian v da się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia 1 i 2 (o ujemnym wyróżniku)

Twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej

Założenia:

-

Teza:

Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu i ułamków prostych. „Najoszczędniejsze” przedstawienie w tej postaci jest jednoznaczne.

Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej do funkcji ciągłej

Założenia:

f jest ciągła

Teza:

f posiada funkcję pierwotną

Twierdzenie

Założenia:

istnieje

istnieje

g ma stały znak na [a,b]

f ma własność Darboux

f jest ograniczona

Teza:

istnieje c Î [a,b] t.ż.

II twierdzenie o wartości średniej

Założenia:

f Î C1

f monotoniczna

g ciągła

g, fg mają funkcje pierwotne

[f ³ 0 i nierosnąca]

Teza:

istnieje c Î [a,b] t.ż. [oraz]

Twierdzenie o sumach Riemanna

Założenia:

f jest ciągła na [a,b]

Teza:

dla każdego e>0 istnieje d>0 t.ż. jeśli a=x0<x1<...< xn-1<xn=b oraz xi-xi-1<d dla i=1,2,...,n tiÎ[xi-1, xi], to

Wzmocnione twierdzenie Weierstrassa o ciągłości jednostajnej

Założenia:

f:[a,b] ® Â

C Ì [a,b] zwarty

f jest ciągła w każdym punkcie C

Teza:

"e>0 $d >0 ïx-yï< d i istnieje c Î C t.ż. ïx-cï< d Þ ïf(x)-f(y)ï<e

Lemat Lebesgue’a o pokryciu

Uwaga! Wzory w tym lemacie wymagają weryfikacji!!!

Założenia:

C Ì Â zwarty

C Ì

" t It jest przedziałem otwartym

Teza:

Istnieje skończony podzbiór T0 zbioru T t.ż. C Ì

*) = Â Ú {+ ¥, - ¥ }

**) W nawiasach [ ] wpisane są odpowiednio dodatkowe założenia i dodatkowe tezy wynikające z dodanych założeń

*) tu chyba może być słabszy warunek ciągłości

*) To są założenia do dwóch twierdzeń o wspólnej nazwie

Dla dostatecznie dużych n

Zaruba

Ten wzór jest niepewny, w oryginalnym pliku było "union"

Ten wzór jest niepewny, w oryginalnym pliku było "union"

Strona 12

12

Twierdzenie o dzieleniu z resztﾹ

Zaruba

1997-01-18T09:42:00