(* funkcja do rozwiniecia *)
f[t_]:=If[t<π/3,-π/2,π/2];
(* przedluzenie do funkcji okresowej *)
g[u_]:=f[Pi Mod[(u+Pi)/Pi,2]-Pi];
Plot[g[u],{u,-10,10},PlotStyle->Thick,PlotRange->3.5,ImageSize->400]

(* Dlugosc rozwinięcia *)
max=20;
(* Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji o okresie 2π *)
ϕ[x_,y_]:=Integrate[x y,{t,-π,π}]

(* Wyraz staly *)
a=ϕ[f[t],1]/(2π)

(* Wspolczynniki przy cosinusach *)
b=Table[ϕ[f[t], Cos[k t]]/Pi,{k,1,max}]

(* Wspolczynniki przy sinusach *)
c=Table[ϕ[f[t], Sin[k t]]/Pi,{k,1,max}]

(* 
Rzut funkcji f na przestrzen rozpieta przez sin(kt) i cos (kt) dla k≤n 
*)
Do[szereg[t_]:=a+Sum[b[[k]]Cos[k t]+c[[k]]Sin[k t],{k,1,n}];
Print[szereg[t]];
Print[Plot[{g[t],szereg[t]},{t,-10,10},PlotStyle->Thick,PlotRange->3.5,ImageSize->400]],{n,1,max}]