Seminarium Magisterskie

Geometria i Topologia Rozmaitości

Rok 2008/9

Tematem seminarium w roku akademickim 2008/9 będą rozmaitości toryczne. Są to pewne przestrzenie topologiczne, na których działa zespolony torus (produkt grup multiplikatywnych C*). Mogą one być rozpatrywane z punktu widzenia

topologi algebraicznej - rozmaitości toryczne dostarczają interesujących przykładów działań torusa oraz homotopijnych rozkładów przestrzeni topologicznych na prostsze składniki
geometri symplektycznej - rozmaitości toryczne mają strukturę symplektyczną
geometrii algebraicznej - mają strukturę algebraicznych rozmaitości zepolonych
kombinatoryki - rozmaitości toryczne są zdefiniowane za w terminach kombinatorycznych a metody geometryczne pozwalają dowieść wysoce nietrywialnych twierdzeń.

Zamierzamy zająć się związkami pomiędzy wymienionym powyżej sposobami patrzenia na rozmaitości toryczne poświęcając więcej uwagi zagadnieniom szczególnie interesujących uczestników. Więcej o topologi torycznej można przeczytać tu.

Rok 2007/8

W roku akademickim 2007/08 Seminarium z Geometrii i Topologii Rozmaitości będzie poświęcone symetriom rozmaitości, a precyzyjniej gładkim działaniom grup na rozmaitościach. Podstawowym zagadnieniem jest poszukiwanie związków między własnościami geometrycznymi i topologicznymi całej rozmaitości i zbioru punktów stałych działania grupy. Pierwowzorem twierdzeń, które omówimy jest dobrze znana zasada dotycząca działania p-grupy na zbiorze skończonym (gdzie p jest liczbą pierwszą): liczba elementów zbioru przystaje modulo p do liczby elementów zbioru punktów stałych. Ten elementarny fakt ma daleko idące i zaskakujące uogólnienia. W szczególności gdy zamiast p-grupy działa torus na rozmaitości (iloczyn okręgów) to charakterystyka Eulera tej rozmaitości jest równa charakterystyce Eulera zbioru punktów stałych. Ważnym narzędziem badania działań grup na rozmaitościach są formy różniczkowe i definiowane przy ich pomocy kohomologie de Rhama. Przy pomocy form wprowadza się tzw. ekwiwariantne kohomologie de Rhama - czyli grupy kohomologii, które odzwierciedlają własności działania grupy. Okazuje się, że dla działań torusów zachodzi tzw. twierdzenie o lokalizacji: po zlokalizowaniu względem pewnego ideału, ekwiwariantne kohomologie rozmaitości i zbioru punktów stałych są izomorficzne.

Związki między własnościami rozmaitosci i zbioru punktów stałych mają też chatrakter lokalny. Istnieje ciekawa formuła pozwalająca wyrazić całki z form różniczkowych na rozmaitości za pomocą pewnych całek na zbiorze punktów stałych. W przypadku gdy zbiór punktów stałych jest skończony sprowadza się to do sumowania pewnych krotności. Przypomina to metodę obliczania całek za pomocą residuów.

Głównym źródłem, które chcemy referować jest książka: V. Guillemin, S. Sternberg "Supersymmetry and equivariant de Rham theory" (Springer 1999), można ją także znależć w Sieci.

Chcielibyśmy zakładać, że uczestnicy seminarium są oswojeni z formami różniczkowymi i z podstawowymi pojęciami geometrii różniczkowej np. w zakresie wykładów A. Białynickiego-Biruli - skrypt cz I, rozdz. 1-9 ( Postscript , PDF) lub wykładów N. Hitchina "Differentiable Manifolds" Chapter 1, Chapter 2 (czesciowo). Więcej informacji wstępnych można znależć TU oraz w książkach:

Peter W. Michor "Topics in Differential Geometry" ( PS, PDF )
J. R. Munkres "Ananlysis on Manifolds" (rozd. 6-8)
F. W. Warner "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups" (rozdz 1-2)

W języku polskim np.