Praca domowa z Podstaw Matematyki

$% \usepackage{amsmath} % \usepackage{amsfonts} % \usepackage{amssymb} % create the definition symbol \def\bydef{\stackrel{\text{def}}{=}} \newcommand{\qed}{\mbox{ } \Box} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\Nat}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\Aa}{\mathcal A} \newcommand{\Bb}{\mathcal B} \newcommand{\Cc}{\mathcal C} \newcommand{\Dd}{\mathcal D} \newcommand{\Ll}{\mathcal L} \newcommand{\str}[1]{\mathbb {#1}} \renewcommand{\implies}{\rightarrow} \newcommand{\lor}{\vee} \newcommand{\land}{\wedge} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\models}{\vDash} \DeclareMathOperator{\dom}{Dom} \DeclareMathOperator{\ifp}{ifp} \DeclareMathOperator{\lfp}{lfp} \DeclareMathOperator{\gfp}{gfp} \DeclareMathOperator{\tcl}{tcl} \DeclareMathOperator{\ln}{ln} $

Poniżej znajdują się pisemne zadania domowe (każde za 10 punktów), terminy podane niżej.

Zadanie 1 (termin: 26 stycznia). Niech $f:X\to Y$ będzie funkcją.
Pokazać, że następujące warunki są równoważne:
1) Funkcja $f$ jest różnowartościowa
2) Dla dowolnego zbioru $Z$ oraz dowolnych
dwóch funkcji $g,h:Z\to X$, zachodzi implikacja $f\circ g=f\circ h\implies g=h$.

Zadanie 2 (termin: 19 stycznia). Niech $f:\mathbb R^3\to \mathbb R$ będzie funkcją. Pokazać, że istnieje $x\in\mathbb R$ taki, że zbiór $f^{-1}(\set x)$ nie zawiera żadnej kuli.

Zadanie 3 (termin: 26 stycznia). Niech $\sim$ będzie relacją równoważności na $\mathbb R^ {\mathbb R}$ taką, że dla $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$, zachodzi $f\sim g$ wtw. gdy funkcja $h=f-g$ jest taka, że $h(n)=0$ dla $n\in\mathbb Z$.

  • Znaleźć funkcję $G$ taką, że $\sim\ =\ \textrm{ker}G$ (czyli $f\sim g$ wtw. $G(f)=G(g)$).
  • Jaka jest moc zbioru $\mathbb R^{\mathbb R}/\sim$ klas abstrakcji relacji $\sim$?
  • Niech $C$ będzie klasą abstrakcji relacji $\sim$. Jaka jest moc $C$?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *