Praca domowa: ortogonalizacja Grama-Schmidta

$% \usepackage{amsmath} % \usepackage{amsfonts} % \usepackage{amssymb} % create the definition symbol \def\bydef{\stackrel{\text{def}}{=}} \newcommand{\qed}{\mbox{ } \Box} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\Nat}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\Aa}{\mathcal A} \newcommand{\Bb}{\mathcal B} \newcommand{\Cc}{\mathcal C} \newcommand{\Dd}{\mathcal D} \newcommand{\Ll}{\mathcal L} \newcommand{\str}[1]{\mathbb {#1}} \renewcommand{\implies}{\rightarrow} \newcommand{\lor}{\vee} \newcommand{\land}{\wedge} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\models}{\vDash} \DeclareMathOperator{\dom}{Dom} \DeclareMathOperator{\ifp}{ifp} \DeclareMathOperator{\lfp}{lfp} \DeclareMathOperator{\gfp}{gfp} \DeclareMathOperator{\tcl}{tcl} \DeclareMathOperator{\ln}{ln} $

Niech $v\in \mathbb R^n$ będzie dowolnym wektorem oraz niech $U\subseteq \mathbb R^n$ będzie podprzestrzenią liniową. Przypuśćmy, że $U$ ma bazę ortonormalną $\set{u_1,\ldots,u_k}$, tj. $U=\textrm{span}\set{u_1,\ldots,u_k}$ oraz układ $u_1,u_2,\ldots,u_k$ jest ortonormalny, tzn. taki, że $$\langle u_i,u_j\rangle=\begin{cases}0&\text{jeśli }i\neq j\\1&\text{jeśli }i=j\end{cases}$$

Fakt. Rzut $v_0$ wektora $v$ na podprzestrzeń $U$ wyraża się wzorem:

$$v_0=\langle v,u_1\rangle\cdot u_1+\ldots \langle v,u_k\rangle\cdot u_k=\sum_{i=1}^k \langle v,u_i\rangle\cdot u_i.$$

Zadanie. Pokazać powyższy fakt na dwa sposoby:

1) Uzasadnić, że $v_0\in U$ oraz $(v-v_0)\bot U$.

2) Zauważyć, że jeżeli $A$ jest macierzą której kolumny to wektory $u_1,\ldots,u_k$, to macierz $A^T\cdot A$ jest macierzą identycznościową $k\times k$, i skorzystać z trzeciego podpunktu zadania 1 z poprzedniej serii zadań, że wektor $x$ współrzędnych rzutu wektora $v$ na przestrzeń  $\textrm{span}\set{u_1,\ldots,u_k}$ spełnia równanie $A^T\cdot A\cdot x=A^T\cdot v$.

Zadanie 2. Metodą ortogonalizacji Grama-Schmidta (korzystając z powyższego faktu), znaleźć bazę ortonormalną podprzestrzeni $V$ przestrzeni $\mathbb R^4$, gdzie $$V=\textrm{span}\set{(5,-5,3,-4),(5,0,3,-4),(10,10,12,-16)}$$

Zadanie 3. Obliczyć odwrotność macierzy

$$M=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&1\\-1&2&1\\0&1&1\end{array}\right]$$

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *