Praca domowa

$% \usepackage{amsmath} % \usepackage{amsfonts} % \usepackage{amssymb} % create the definition symbol \def\bydef{\stackrel{\text{def}}{=}} \newcommand{\qed}{\mbox{ } \Box} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\Nat}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\Aa}{\mathcal A} \newcommand{\Bb}{\mathcal B} \newcommand{\Cc}{\mathcal C} \newcommand{\Dd}{\mathcal D} \newcommand{\Ll}{\mathcal L} \newcommand{\str}[1]{\mathbb {#1}} \renewcommand{\implies}{\rightarrow} \newcommand{\lor}{\vee} \newcommand{\land}{\wedge} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\models}{\vDash} \DeclareMathOperator{\dom}{Dom} \DeclareMathOperator{\ifp}{ifp} \DeclareMathOperator{\lfp}{lfp} \DeclareMathOperator{\gfp}{gfp} \DeclareMathOperator{\tcl}{tcl} \DeclareMathOperator{\ln}{ln} $

Dzień dobry. Poniżej są zadania domowe, które proszę o rozwiązanie na kartkach na piątek 12.12.14. Rozwiązań nie będę zbierał i sprawdzał – sprawdzą je sobie Państwo sami, porównując wyniki zadania otrzymane na różne sposoby opisane poniżej.

Zadanie 1. Niech $V$ będzie podprzestrzenią w $\mathbb R^3$ określoną następująco:

$$V=\textrm{span}\set{(1,2,0),(-2,1,1)},$$

oraz niech $w=(5,3,6)$. Znaleźć rzut prostopadły $w_0$ wektora $w$ na przestrzeń $V$ na cztery sposoby ($r$ oznacza wektor $w-w_0$):

  1. Znaleźć przestrzeń $W=V^{\bot}$, i znaleźć wektor $r\in W$ taki, że $w_0\in V$. Warto tu skorzystać z tego, że $V=W^{\bot}$, więc $w_0\in V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $w_0\bot W$, czyli $(w-r)\bot W$.
  2. Z definicji: znaleźć parę liczb $x_1,x_2\in\mathbb R$ taką, że dla $w_0=x_1\cdot (1,2,0)+x_2\cdot (-2,1,1)$, zachodzi $(w-w_0)\bot V$, czyli $(w-w_0)\bot (1,2,0)$ oraz $(w-w_0)\bot (-2,1,1)$. To daje układ dwóch równań o dwóch niewiadomych $x_1,x_2$: $$\begin{align*}\langle w-w_0,(1,2,0)\rangle&=0\\\langle w-w_0,(-2,1,1)\rangle&=0\end{align*}$$
  3. Niech $A$ oznacza macierz $3\times 2$, której kolumny to wektory rozpinające przestrzeń $V$. Znaleźć wektor $x\in\mathbb R^2$ taki, że $A^T\cdot A\cdot x=A^T\cdot w$ (to też daje układ równań o dwóch niewiadomych, który ma postać macierzową $(A^T\cdot A\ |\ b)$ gdzie $b=A^T\cdot w$, który rozwiązujemy eliminacją Gaussa). Wtedy $w_0=A\cdot x$.
  4. Zgadnij wektor $w_0\in \mathbb R^3$ (zapewne na podstawie powyższych obliczeń) i sprawdź, czy spełnia warunki: $w_0\in V$ oraz $(w-w_0)\bot V$.

Zadanie 2. Niech $A: \mathbb R^3\to \mathbb R^2$ będzie przekształceniem liniowym takim, że \begin{align*}A(0,1,1)&=(2,0),\\A(1,0,1)&=(0,0)\\A(1,1,0)&=(0,1)\end{align*}

 

  1. Znaleźć macierz $[A]^{st}_{st}$ tego przekształcenia w bazach standardowych: $st=\set{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ w dziedzinie oraz $st=\set{(0,1),(1,0)}$ w przeciwdziedzinie.
  2. Znaleźć macierz $[A]^{\mathcal B}_{\mathcal C}$ tego przekształcenia w bazach $\mathcal B=\set{(1,1,0),(1,2,1),(0,0,1)}$ oraz $\mathcal C=\set{(1,1),(-1,1)}$ przestrzeni $\mathbb R^3$ oraz $\mathbb R^2$, odpowiednio.
  3. Znaleźć macierz $[id]^{st}_{\mathcal C}$ przekształcenia identycznościowego $id:\mathbb R^3\to \mathbb R^3$ w bazach standardowej (w dziedzinie) oraz $\mathcal C$ (w przeciwdziedzinie).
  4. Znaleźć macierz $[id]^{st}_{\mathcal B}$ przekształcenia identycznościowego $id:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ w bazach standardowej (w dziedzinie) oraz $\mathcal B$ (w przeciwdziedzinie).
  5. Znaleźć macierz $[id]^{\mathcal B}_{st}$ przekształcenia identycznościowego $id:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ w bazach $\mathcal B$ (w dziedzinie) oraz standardowej w przeciwdziedzinie. Zauważ, że wynikowa macierz jest odwrotnością macierzy z poprzedniego podpunktu, tj. $$[id]^{\mathcal B}_{st}=([id]^{st}_{\mathcal B})^{-1}.$$
  6. Zauważ, że $$[A]^{\mathcal B}_{\mathcal C}=[id]^{st}_{\mathcal C} \cdot [A]^{st}_{st}\cdot [id]^{\mathcal B}_{st}$$

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *