Praca domowa nr 3

$% \usepackage{amsmath} % \usepackage{amsfonts} % \usepackage{amssymb} % create the definition symbol \def\bydef{\stackrel{\text{def}}{=}} \newcommand{\qed}{\mbox{ } \Box} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\Nat}{\mathbb N} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\Aa}{\mathcal A} \newcommand{\Bb}{\mathcal B} \newcommand{\Cc}{\mathcal C} \newcommand{\Dd}{\mathcal D} \newcommand{\Ll}{\mathcal L} \newcommand{\str}[1]{\mathbb {#1}} \renewcommand{\implies}{\rightarrow} \newcommand{\lor}{\vee} \newcommand{\land}{\wedge} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\subset}{\subseteq} \newcommand{\models}{\vDash} \DeclareMathOperator{\dom}{Dom} \DeclareMathOperator{\ifp}{ifp} \DeclareMathOperator{\lfp}{lfp} \DeclareMathOperator{\gfp}{gfp} \DeclareMathOperator{\tcl}{tcl} \DeclareMathOperator{\ln}{ln} $

Zadanie 1. Niech $v=(1,2)$ będzie wektorem w przestrzeni $\RR^2$. Pokazać, że dla dowolnego wektora $w\in\RR^2$ przestrzeń $W=\textrm{span}\set{v,w}$ jest równa $\textrm{span}\set{v}$, albo jest równa $\RR^2$.

Zadanie 2. Rozstrzygnąć, czy poniższe układy wektorów są liniowo zależne; jeśli tak, to znaleźć zbiór ich kombinacji liniowych, które dają wyniku wektor $0$.

  1. $\set{(3,2,5),(1,2,4),(1,0,2)}$ w przestrzeni $\RR^3$.
  2. $\set{(3,2,1),(1,2,1),(1,0,0)}$ w przestrzeni $\RR^3$.
  3. $\set{w_1,w_2,w_3}$ w przestrzeni $\RR^\RR$ funkcji z $\RR$ w $\RR$, gdzie $$\begin{align*}w_1(x)&=x^2+x\\ w_2(x)&=2x^2 \\ w_3(x)&=3x\end{align*}$$
  4. $$\begin{align*}\{(0,1,0,0,0,1),\\(0,0,1,1,1,1),\\(1,0,0,1,0,0),\\(1,1,0,0,1,0),\\(0,0,0,1,1,1)\}\end{align*}$$ w sześciowymiarowej przestrzeni $\mathbb{Z}_2^6$ nad ciałem $\mathbb{Z}_2$.

Zadanie 3Sprzątaczka ma za zadanie po zakończonych zajęciach wyłączyć wszystkie światła w sali 5440. Tych świateł jest sześć, ale włączniki są tylko cztery:

  • pierwszy włącznik zmienia stan lamp 2 oraz 6
  • drugi włącznik zmienia stan lamp 3,4,5,6
  • trzeci włącznik zmienia stan lamp 1,4
  • czwarty włącznik zmienia stan lamp 1,2,5.

Włączone są lampy 4,5,6. Które włączniki powinna przełączyć sprzątaczka, by wyłączyć wszystkie lampy?

 

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>