Seminarium z Topologii Algebraicznej
Wtorki, 14:30-16:00, sala 4070
Topological proof that there is a lot of Auerbach bases
Andrzej Weber
18.10.2016
Abstract:
Niech V będzie przestrzenią Banacha skończonego wymiaru.
Mówimy, że
a_1, a_2,...,a_n \in V
jest bazą Auerbacha,
gdy
|a_i|=|a^*_i|= 1 dla każdego
i= 1, 2,...,n. Istnienie takiej
bazy dla dowolnej przestrzeni Banacha skończonego wymiaru zostało wykazane przez
Auerbacha w 1930 roku. Własności baz Auerbacha były badane
przez wielu autorów. W roku 2005 Plichko wykazał, że muszą
istnieć conajmniej dwie istotnie różne bazy Auerbacha. Następnie Pełczyński postawił hipotzę, że w przestrzeni wymiaru n istnieje conajmniej n
baz Auerbacha. Wykażemy, że w dowolnej
przestrzeni Banacha wymairu n
musi być conajmniej n
(n-1)/2+ 1
baz Auerbacha. Dowód jest topologiczny i korzysta z obliczenia kategorii
Lusternika-Schnirelmanna dla przestrzeni flag. Dla przestrzeni Banacha ogólnego typu otrzymujemy oszacowanie lepsze stosując teorię Morse’a.